제곱이 스스로 줄어드는 네 칸 수
공통수학 1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 위줄 3,1 / 아래줄 2,4 (비교용: 위줄 1,2 / 아래줄 3,4)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①아래 네 칸 수를 자기 자신과 곱한 결과를 [칸 A]에 네 칸으로 적어 보세요.
- ②왼쪽 위 수와 오른쪽 아래 수를 더한 값을 구하고, 그 값을 네 칸 수의 각 칸에 곱해 [칸 B]에 적어 보세요.
- ③[칸 A]에서 [칸 B]를 같은 자리끼리 빼서 그 결과를 [칸 C]에 네 칸으로 적어 보세요.
- ④[칸 C]의 네 자리 중 0인 자리와 0이 아닌 자리를 나누고, 0이 아닌 두 자리의 수를 [칸 D]에 적어 보세요.
- ⑤(왼위 수)×(오른아래 수)에서 (오른위 수)×(왼아래 수)를 뺀 값을 구해 [칸 D] 옆에 나란히 적어 보세요.
- ⑥이번에는 아래 비교용 네 칸 수로 ①~③을 다시 하고, 그때의 [칸 C]를 [칸 E]에 옮겨 적어 보세요.
칸 A — 네 칸 수를 자기 자신과 곱한 결과
칸 B — (왼위+오른아래)를 각 칸에 곱한 결과
칸 D — 0이 아닌 두 자리의 수 · ⑤의 값
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 C]는 네 자리 중 두 자리가 0이 되고, 남은 두 자리에는 서로 같은 수가 나왔습니다. 왜 이런 모양이 나왔다고 생각하나요? 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)
✎ 칸 A와 칸 B가 ___ 자리에서는 서로 ___고, 대각 자리에서는 ___기 때문에 …
(2)⑤에서 구한 값과 [칸 D]에 적은 두 자리 수 사이에는 어떤 관계가 보이나요? 이것은 이 네 칸 수라서 생긴 우연일까요, 어떤 네 칸 수를 골라도 생기는 규칙일까요? 다른 네 칸 수를 직접 하나 골라 ①~⑤를 해 본 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 네 칸 수 ___로 해 보니 ⑤의 값과 [칸 D]는 …
(3)⑥의 [칸 E]는 [칸 C]와 비교했을 때 대각 자리에 남은 수의 부호가 어떻게 달랐나요? 무엇 때문에 그 차이가 생겼는지 여러분의 생각을 쓰세요. (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 각 칸의 곱셈·뺄셈을 정확히 하고, 0인 자리와 0이 아닌 자리를 바르게 갈라 적음 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | ⑤의 값과 [칸 D]의 관계를 근거를 들어 설명하고, 다른 네 칸 수를 직접 골라 규칙을 확인함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 활동 순서를 스스로 재구성해 이유를 붙이고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 연결함 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
제곱이 스스로 줄어드는 네 칸 수 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.행렬 A=(2113)에 대하여 케일리-해밀턴의 정리 A²-(a+d)A+(ad-bc)E=O를 세우시오. (단, a,b,c,d는 A의 성분)
2.행렬 A=(1234)일 때, A²을 A와 E로 나타내시오.
3.행렬 A=(2113)에 대하여, 위 정리를 이용해 A³을 A와 E로 나타내시오.
4.행렬 A=(3003)일 때, A²을 A와 E로 나타내고 정리가 성립함을 확인하시오.
5.어떤 2×2 행렬 A가 A²=4A-3E를 만족할 때, (a+d)와 (ad-bc)의 값을 각각 구하시오.
정답
1. a+d=5, ad-bc=6-1=5 이므로 A²-5A+5E=O
2. a+d=5, ad-bc=4-6=-2 이므로 A²-5A-2E=O → A²=5A+2E
3. A²=5A-5E → A³=A·A²=5A²-5A=5(5A-5E)-5A=20A-25E
4. a+d=6, ad-bc=9 → A²-6A+9E=O → A²=6A-9E (양변 모두 위줄 9,0·아래줄 0,9 로 성립)
5. A²-4A+3E=O 와 비교 → a+d=4, ad-bc=3