두 점을 잇는 선분을 정해진 비로 나누는 자리의 화살표 구하기

기하와 벡터 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점

학년

이름

점수

안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: O 기준 A(1,2), B(7,5) 를 2:1로 나누는 자리 (비교용: 선분을 나누는 비를 1:1로 두는 경우)

활동 — 순서대로 해 보기

30점

①O에서 A(1,2), B(7,5)로 향하는 두 화살표를 그려 각 끝점을 [칸 A]에 적으세요.
②선분 AB를 안쪽에서 2:1로 나누는 점을, (1×A와 2×B의 가로합)/3, (세로합)/3 으로 계산해 [칸 B]에 적으세요.
③[칸 B]의 점이 정말 A와 B 사이에 있는지 좌표로 확인해 [칸 C]에 적으세요.
④이번에는 선분을 바깥쪽으로 2:1로 늘린 점을, (2×B − 1×A)/(2−1) 로 계산해 [칸 D]에 적으세요.
⑤[칸 B]와 [칸 D]가 A, B와 어떤 순서로 놓이는지 수직선/좌표에 표시해 [칸 E]에 적으세요.

칸 A — O→A, O→B 끝점

칸 B — 안쪽 2:1 나눈 점

칸 C — A·B 사이인지 확인

칸 D — 바깥쪽 2:1 늘린 점

칸 E — 네 점의 놓인 순서

해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기

40점

(1)안쪽으로 나눌 때는 두 화살표를 (n×A + m×B)/(m+n)로 섞고, 바깥쪽으로 늘릴 때는 빼서 나눕니다. 왜 바깥쪽에서는 빼는지 여러분의 말로 설명하세요. (15점)

✎ 바깥쪽 점은 선분을 넘어가므로 …

(2)비를 2:1 대신 1:2로 바꾸면 안쪽 점이 A쪽에 가까워질까요 B쪽에 가까워질까요? 우연일까요 규칙일까요? 직접 계산해 확인한 결과와 함께 쓰세요. (15점)

✎ 나는 (A쪽 / B쪽)에 걸고, 1:2로 하니 …

(3)대조 사례 1:1로 나누면 어떤 특별한 점이 되는지, [칸 B] 계산식에 1:1을 넣어 확인해 설명하세요. (10점)

성찰 — 활동을 내 것으로 만들기

30점

(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)

(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)

평가 기준

활동 수행 (30점)	각 칸의 값을 지시대로 빠짐없이 구하고, 확인 단계를 정확히 수행함	상 · 중 · 하
해석 (40점)	자기 가설에 이유를 붙였고, 다른 사례를 직접 골라 확인한 근거가 있음	상 · 중 · 하
성찰 (30점)	순서 재설계에 이유가 있고, 세 문장 각각에 알맞은 이름을 짝지음	상 · 중 · 하

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연습 문제

두 점을 잇는 선분을 정해진 비로 나누는 자리의 화살표 구하기 · 각 25점 · 총 100점

학년

이름

점수

안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.

1.두 점 A(1,2), B(7,5)를 이은 선분을 2:1로 내분하는 점의 위치벡터(좌표)를 구하시오.

2.두 점 A(1,2), B(7,5)를 이은 선분을 2:1로 외분하는 점의 좌표를 구하시오.

3.두 점 A(1,2), B(7,5)의 중점(1:1 내분점)의 좌표를 구하시오.

4.A(0,0), B(6,3)을 1:2로 내분하는 점의 좌표를 구하시오.

정답

1. (1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3 = (5, 4) 2. (2·7−1·1)/(2−1), (2·5−1·2)/(2−1) = (13, 8) 3. (4, 3.5) 즉 (4, 7/2) 4. (2·0+1·6)/3, (2·0+1·3)/3 = (2, 1)

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