여러 번 뽑으면 흔들림이 줄어든다
확률과 통계 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 동전 2번 던지기 (비교용: 동전 1번 던지기)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①동전을 2번 던질 때 나올 수 있는 결과 4가지(앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤)를 [칸 A]에 적어 보세요.
- ②각 결과에서 (앞면 횟수)÷2 를 계산해 [칸 A]의 결과 옆에 각각 적어 보세요.
- ③②에서 얻은 네 값을 모두 더해 4로 나눈 값을 [칸 B]에 적어 보세요.
- ④네 값 각각에서 1/2을 빼고 제곱한 뒤, 그 네 개를 더해 4로 나눈 값을 [칸 C]에 적어 보세요.
- ⑤동전을 1번만 던질 때의 값 0과 1로 ④와 같은 계산을 하고, 결과를 [칸 D]에 적어 보세요.
- ⑥[칸 C]와 [칸 D]를 비교해 더 작은 쪽에 ◯표 하세요.
칸 A — 2번 던질 때의 결과와 (앞면 횟수)÷2
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 B]의 값은 동전 한 번에 앞면이 나올 가능성 1/2과 같았나요? 이것은 2번 던져서 생긴 우연일까요, 던지는 횟수를 바꿔도 생기는 규칙일까요? 3번 던지는 경우(결과 8가지)를 직접 계산한 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 3번 던져 보니 여덟 값을 더해 8로 나눈 값이 ___이므로 …
(2)⑤~⑥에서 [칸 C]와 [칸 D]는 무엇이 달랐나요? 던지는 횟수가 2번에서 100번으로 늘어나면 (앞면 횟수)÷(던진 횟수)의 값들은 어떻게 될지 여러분의 생각을 쓰세요. (15점)
✎ 던지는 횟수가 늘어날수록 그 값들은 1/2에서 ___ 것 같다. 왜냐하면 …
(3)②에서 적은 네 값 중 1/2이 두 번 나왔습니다. 값들이 어느 수 근처에 몰려 있다고 말할 수 있나요? 그 이유를 여러분의 말로 설명해 보세요. (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 네 가지 결과와 나눈 값을 빠짐없이 적고, 계산·비교 지시를 정확히 수행함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 자기 가설에 이유를 붙였고, 3번 던지는 경우를 직접 계산한 근거가 있음 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 순서 재설계에 이유가 있고, 세 문장 각각에 알맞은 이름을 짝지음 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
여러 번 뽑으면 흔들림이 줄어든다 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.모비율이 0.2인 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 p̂의 평균 E(p̂)과 분산 V(p̂)을 구하시오.
2.모비율이 0.5인 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 p̂의 표준편차를 구하고, p̂이 근사적으로 따르는 정규분포를 N(m, σ²) 꼴로 나타내시오.
3.모비율이 0.9인 모집단에서 크기가 400인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 p̂에 대하여 P(p̂≤0.915)를 구하시오. (단, Z가 표준정규분포를 따를 때 P(0≤Z≤1)=0.3413)
4.다음 중 표본비율의 분포를 정규분포로 근사하기에 적절한 경우를 고르시오. (가) n=40, p=0.1 (나) n=100, p=0.1
5.모비율이 0.5인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때 P(p̂≥0.55)=0.0228이 되도록 하는 n을 구하시오. (단, P(0≤Z≤2)=0.4772)
정답
1. E(p̂)=0.2, V(p̂)=0.2×0.8/100=0.0016
2. 표준편차 0.05, N(0.5, 0.05²)
3. σ=0.015, z=(0.915−0.9)/0.015=1 이므로 P=0.5+0.3413=0.8413
4. (나) — (가)는 np=4<5, (나)는 np=10≥5, nq=90≥5
5. 0.05/√(0.25/n)=2 에서 n=400