쌓은 값을 폭으로 나누면 어디에 닿을까
미적분 2 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 높이 h(t)=2t+3, 쌓임 G(x)=x²+3x (비교용: 높이 h(t)=2t+1, 쌓임 G(x)=x²+x)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①[칸 A]에 높이 식 h(t)=2t+3을 t=0, t=0.5, t=1에 넣어 나온 세 값을 적어 보세요.
- ②[칸 B]의 x=1, 0.5, 0.1, 0.01 각 줄에 쌓인 값 G(x)=x²+3x를 계산해 적어 보세요.
- ③[칸 B]에서 각 줄의 G(x)를 그 줄의 x로 나눈 값 G(x)/x를 오른쪽 칸에 적어 보세요.
- ④[칸 B]의 G(x)/x가 x를 줄일수록 다가가는 한 수를 찾아 [칸 C]에 적어 보세요.
- ⑤[칸 A]에서 t=0일 때 값을 [칸 D]에 옮겨 적고 [칸 C]의 수와 나란히 비교해 보세요.
- ⑥높이 식을 h(t)=2t+1로 바꿔 ②~④를 다시 하고 다가가는 수를 [칸 E]에 적어 보세요.
칸 A — h(t)=2t+3을 t=0, 0.5, 1에 넣은 값
칸 B — x / G(x)=x²+3x / G(x)를 x로 나눈 값
칸 E — h(t)=2t+1일 때 다가가는 수
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해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 C]에 적은 수와 [칸 D]에 적은 수가 같았나요? G(x)/x가 왜 그 수로 다가갔다고 생각하는지 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)
✎ 폭 x를 아주 작게 하면 쌓인 값은 거의 ___ × ___ 가 되므로, x로 나누면 …
(2)이것은 높이 식이 2t+3이라서 생긴 우연일까요, 어떤 높이 식에서도 생기는 규칙일까요? 높이 식 하나를 직접 골라 ②~④를 해 본 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 높이 식 ___ 로 해 보니 다가가는 수는 ___ 였고 …
(3)[칸 E](h=2t+1)가 다가간 수는 [칸 C](h=2t+3)와 달랐습니다. 무엇 때문에 이 차이가 생겼을지 여러분의 생각을 쓰세요. (10점)
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성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 세 값·쌓인 값·나눈 값을 빠짐없이 정확히 계산하고, 다가가는 수를 바르게 찾음 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 다가간 수가 시작 값과 같은 까닭에 근거를 붙이고, 다른 식을 직접 골라 우연/규칙을 검증함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 연결함 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
쌓은 값을 폭으로 나누면 어디에 닿을까 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 성질 — 정적분으로 정의된 함수를 폭으로 나눈 값의 극한 — 을 이번에는 용어와 함께 반복 적용합니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.lim_(x→0) (1/x)·∫[0,x] (3t+5) dt 의 값을 구하시오.
2.lim_(x→2) (1/(x−2))·∫[2,x] (t²+1) dt 의 값을 구하시오.
3.lim_(x→0) (1/x²)·∫[0,x] sin t dt 의 값을 구하시오.
4.lim_(x→0) (1/x)·∫[0,2x] eᵗ dt 의 값을 구하시오. (적분 위끝이 2x인 합성형)
5.연속함수 f 에 대하여 lim_(x→1) (1/(x−1))·∫[1,x] f(t) dt = 7 일 때, f(1)의 값을 구하시오.
정답
1. 5 (∫[0,x](3t+5)dt = (3/2)x²+5x, ÷x = (3/2)x+5 → x→0 에서 5. 곧 f(0)=5)
2. 5 (미적분 기본정리로 극한값 = f(2) = 2²+1 = 5)
3. 1/2 (∫[0,x]sin t dt = 1−cos x, (1−cos x)/x² → 1/2)
4. 2 (로피탈: 분자 미분 = e^(2x)·2, 분모 미분 = 1 → e^(2x)·2 → x→0 에서 2)
5. 7 (정적분으로 정의된 함수의 극한 성질: 그 극한값 = f(1) 이므로 f(1)=7)