곡선이 휘는 쪽을 바꾸는 그 한 점 찾기

미적분 2 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
학년
이름
점수

안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다.  예제: y = x³ − 3x (비교용: y = x²)

1

활동 — 순서대로 해 보기

30점
  1. ①[칸 A]에 x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 에서 y = x³ − 3x 의 값을 차례로 적어 보세요.
  2. ②[칸 A]에서 이웃한 두 값의 차(오른쪽 − 왼쪽)를 6개 구해 [칸 C]에 적어 보세요.
  3. ③[칸 C]에서 이웃한 두 수의 차를 다시 구해 [칸 D]에 5개 적어 보세요.
  4. ④[칸 D]에서 값이 음(−)에서 양(+)으로 바뀌는 자리를 찾아 ◯표 하고, 그때의 x를 크게 적어 보세요.
  5. ⑤그 x의 좌우에서 [칸 A]의 값들이 어느 쪽으로 굽어 도는지 눈으로 살펴보세요.
  6. ⑥이번엔 y = x² 로 ①~③을 반복해 [칸 B]와 [칸 E]에 적고, [칸 E]에 부호가 바뀌는 자리가 있는지 보세요.
칸 A — y = x³ − 3x 의 값 (x=−3~3)
칸 B — y = x² 의 값 (x=−3~3)
칸 C — x³−3x : 이웃한 값의 차
칸 D — x³−3x : 그 차들의 차
칸 E — x² : 차들의 차
2

해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기

40점

(1)④에서 찾은 그 x는 곡선 y = x³ − 3x 위에서 어떤 점인가요? 그 점의 왼쪽과 오른쪽에서 곡선이 굽어 도는 쪽이 어떻게 달라졌는지 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)

✎ 그 점의 왼쪽에서는 ___쪽으로 굽고, 오른쪽에서는 ___쪽으로 굽어서 …

(2)[칸 D]가 x축 위의 딱 한 자리에서만 −에서 +로 바뀐 것은 y = x³ − 3x 라서 생긴 우연일까요, 어떤 3차식이든 생기는 규칙일까요? 다른 3차식(예: y = x³ − 12x 또는 스스로 고른 것)으로 [칸 A]~[칸 D]를 직접 다시 만들어 확인한 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)

✎ 나는 (우연 / 규칙) 이라고 생각한다. 내가 고른 3차식 ___ 로 해 보니 …

(3)[칸 E](y = x²)에서는 부호가 바뀌는 자리가 나왔나요? y = x³ − 3x 와 무엇이 달라서 이런 차이가 생겼다고 생각하나요? (10점)

3

성찰 — 활동을 내 것으로 만들기

30점

(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)

(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)

평가 기준
활동 수행 (30점)각 x의 값을 정확히 구하고, 차와 '차의 차'를 빠짐없이 계산해 부호가 바뀌는 자리를 옳게 표시함상 · 중 · 하
해석 (40점)그 점 좌우에서 굽는 쪽이 달라짐을 근거로 설명하고, 다른 사례를 직접 만들어 우연/규칙을 검증함상 · 중 · 하
성찰 (30점)활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 연결함상 · 중 · 하
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연습 문제

곡선이 휘는 쪽을 바꾸는 그 한 점 찾기 · 각 20점 · 총 100점
학년
이름
점수

안내 — 1쪽에서 스스로 세운 생각을, 이번에는 이계도함수를 써서 반복해 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.

1.곡선 y = x³ − 3x² 의 변곡점을 구하시오.
2.곡선 y = x³ − 6x² + 9x + 1 의 변곡점의 좌표를 구하시오.
3.곡선 y = x⁴ − 6x² 의 변곡점을 모두 구하시오.
4.함수 y = x⁴ 은 y''(0) = 0 이지만 x = 0 이 변곡점이 아니다. 그 이유를 쓰시오.
5.곡선 y = x³ + ax² + x 의 변곡점의 x좌표가 1일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답
1. (1, −2) [ y'' = 6x−6 = 0 → x=1, y(1)=1−3=−2 ] 2. (2, 3) [ y'' = 6x−12 = 0 → x=2, y(2)=8−24+18+1=3 ] 3. (−1, −5), (1, −5) [ y''=12x²−12=0 → x=±1, y(±1)=1−6=−5 ] 4. y''=12x² 은 x=0 좌우에서 모두 양(+)이라 부호가 바뀌지 않으므로 변곡점이 아니다. 5. a = −3 [ y''=6x+2a=0 → x=−a/3=1 → a=−3 ]
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