값 하나로 3배 각을 알아맞히는 계산 레시피 찾기

미적분 2 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
학년
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점수

안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다.  예제: 각 20° (3배 하면 60°) (비교용: 3배만 한 값 (빼기 전) vs 3배 각의 실제 값)

1

활동 — 순서대로 해 보기

30점
  1. 계산기로 20°의 sin 값을 소수 넷째 자리까지 구해 s로 [칸 A]에 적어 보세요.
  2. s를 3배 한 값과, s를 세 번 곱한 값을 다시 4배 한 값을 구해 [칸 A]에 함께 적어 보세요.
  3. ②의 '3배 한 값'에서 '4배 한 값'을 뺀 결과를 [칸 B]에 적어 보세요.
  4. 계산기로 20°를 3배 한 60°의 sin 값을 구해 [칸 C]에 적어 보세요.
  5. ②의 '3배 한 값'만 [칸 D]에 옮겨 적고, [칸 C]와 얼마나 차이 나는지 비교하세요.
  6. [칸 B]와 [칸 C]를 비교해 같으면 [칸 B] 옆에 O표 하세요.
  7. 10°로 ①~④를 다시 해(3배는 30°), [칸 B]에 해당하는 값과 sin 30°를 [칸 E]에 나란히 적으세요.
칸 A — s = sin 20°, 그리고 3×s, 4×s×s×s
칸 B — 3×s − 4×s×s×s 의 결과
칸 C — sin 60° 값
칸 D — 3×s 만의 값 (빼기 전)
칸 E — 10°로 다시 한 결과
2

해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기

40점

(1)[칸 B]에서 만든 값과 [칸 C]의 값은 어떤 관계였나요? 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)

✎ 칸 B에서 만든 값과, 20°를 3배 해서 구한 ___ 값이 서로 ___했다. 왜냐하면 …

(2)20°에서 [칸 B]와 [칸 C]가 같았던 것은 20°라서 생긴 우연일까요, 어떤 각을 골라도 생기는 규칙일까요? 다른 각 하나를 직접 골라 확인한 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)

✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 각 ___°로 해 보니 …

(3)[칸 D]의 '3배만 한 값'은 [칸 C]와 크게 달랐는데, [칸 B]는 딱 맞았습니다. 무엇 때문에 이 차이가 생겼을지 여러분의 생각을 쓰세요. (10점)

3

성찰 — 활동을 내 것으로 만들기

30점

(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)

(2) 이름 붙이기 — 오늘 만든 계산 레시피(한 각의 값으로 3배 각의 값을 구한 방법)를 한 문장으로 정리한 뒤, 그것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 스스로 짝지어 붙여 보세요. (15점)

평가 기준
활동 수행 (30점)각 칸의 값을 정확히 계산하고, 비교·O표·차이 확인 지시를 빠짐없이 수행함상 · 중 · 하
해석 (40점)관찰한 관계의 까닭을 근거를 들어 자기 말로 설명하고, 다른 각으로 우연/규칙을 직접 검증함상 · 중 · 하
성찰 (30점)활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신이 만든 계산 방법에 알맞은 이름(용어)을 연결함상 · 중 · 하
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연습 문제

값 하나로 3배 각을 알아맞히는 계산 레시피 찾기 · 각 20점 · 총 100점
학년
이름
점수

안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.

1.sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α 임을 이용하여, sin α = 1/3 일 때 sin 3α 의 값을 구하시오.
2.cos 3α = 4 cos³α − 3 cos α 임을 이용하여, cos α = 1/2 일 때 cos 3α 의 값을 구하시오.
3.덧셈정리 sin(2α+α) 와 배각 공식을 이용하여 sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α 임을 유도하시오.
4.sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α 에서 α = 90° (sin α = 1)일 때 좌변 sin 270° 와 우변을 각각 구해 등식이 성립함을 확인하시오.
5.cos 3α = 4 cos³α − 3 cos α 를 이용하여, 삼차방정식 8x³ − 6x − 1 = 0 의 한 실근이 cos 20° 임을 보이시오.
정답
1. 23/27 2. -1 (α=60°이므로 cos 180° = −1과 일치) 3. sin(2α+α)=sin2α cosα+cos2α sinα=(2sinα cosα)cosα+(1−2sin²α)sinα=2sinα cos²α+sinα−2sin³α, cos²α=1−sin²α 대입 → 3sinα−4sin³α 4. 좌변 sin 270° = −1, 우변 3(1)−4(1)³ = −1, 서로 같음 5. x=cos α로 두면 8x³−6x=2(4cos³α−3cosα)=2cos3α=1 → cos3α=1/2 → 3α=60° → α=20°, 즉 x=cos 20°
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