x에 무엇을 넣어도 값이 늘 0보다 큰지 가려내기
미적분 1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 두 식에 여러 수를 직접 넣어 값을 만들어 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: f = x² − 4x + 7 (비교용: g = x² − 4x + 3)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①첫 번째 식 f = x×x − 4×x + 7 에 x = 0, 1, 2, 3, 4 를 차례로 넣어 나온 값을 [칸 A]에 적으세요.
- ②[칸 A]의 다섯 값 중 가장 작은 값에 ◯표 하고, 그 값을 [칸 C]에 옮겨 적으세요.
- ③더 작은 값이 있을지 x = 1.5, 2.5 도 넣어 보고, 더 작으면 [칸 C]의 ◯표를 그 값으로 바꾸세요.
- ④[칸 C]의 값 옆에 '0보다 큼' 또는 '0보다 작음' 중 맞는 것을 적으세요.
- ⑤두 번째 식 g = x×x − 4×x + 3 으로 ①~④를 똑같이 하고, 결과를 [칸 B]와 [칸 D]에 적으세요.
- ⑥[칸 C]·[칸 D] 옆의 판단을 보고, x에 무엇을 넣어도 값이 늘 0보다 큰 식에 별표 하세요.
칸 A — 첫 번째 식 f 에 x=0,1,2,3,4 를 넣은 값
칸 B — 두 번째 식 g 에 x=0,1,2,3,4 를 넣은 값
칸 C — f 에서 가장 작은 값 (0과 비교)
칸 D — g 에서 가장 작은 값 (0과 비교)
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 C]의 값이 0보다 컸다면, 이 한 값만 보고도 '첫 번째 식은 x에 무엇을 넣어도 늘 0보다 크다'고 말할 수 있을까요? 그렇게 판단한 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 [칸 C]의 값이 그 식이 만들 수 있는 가장 ___ 값이라고 보기 때문에 …
(2)두 번째 식은 x=1, 3을 넣으면 0이 되고 x=2에서는 0보다 작았습니다. 두 식의 [칸 C]·[칸 D] 값을 근거로, 왜 한쪽만 늘 0보다 큰지 설명하세요. (15점)
(3)정수만 넣었다면 두 번째 식이 0보다 작아지는 순간을 놓쳤을 수도 있습니다. '가장 작은 값'을 정확히 찾으려면 몇 개의 수만 넣어 보면 충분할까요? 여러분 생각을 쓰세요. (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 두 식에 각 수를 정확히 넣어 값을 구하고, 가장 작은 값 찾기와 0과의 비교·표시를 빠짐없이 함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 한 값만으로 판단할 수 있는 근거를 자기 말로 설명하고, 두 식의 차이를 값으로 뒷받침함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 연결함 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
x에 무엇을 넣어도 값이 늘 0보다 큰지 가려내기 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.모든 실수 x에 대하여 부등식 x² − 6x + 11 > 0 이 성립함을, f(x) = x² − 6x + 11 의 최솟값을 구하여 보이시오.
2.모든 실수 x에 대하여 부등식 x² + 2x + k > 0 이 성립하도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오.
3.도함수를 이용하여, 모든 실수 x에 대하여 부등식 x⁴ − 4x + 3 ≥ 0 이 성립함을 보이시오.
4.h(x) = eˣ − x − 1 의 최솟값을 이용하여, 모든 실수 x에 대하여 eˣ ≥ x + 1 이 성립함을 보이시오.
5.모든 실수 x에 대하여 부등식 x² + ax + 9 > 0 이 성립하도록 하는 정수 a의 개수를 구하시오.
정답
1. f(x)=(x−3)²+2, 최솟값 f(3)=2>0 이므로 모든 실수 x에서 성립
2. 최솟값=(k−1)>0 ⇔ k>1
3. h'(x)=4x³−4=0 → x=1, 최솟값 h(1)=0 ≥ 0 이므로 성립
4. h'(x)=eˣ−1=0 → x=0, 최솟값 h(0)=0 이므로 eˣ≥x+1 성립
5. a²−36<0 ⇔ −6<a<6, 정수 a=−5,…,5 → 11개