가장 높은 곳과 가장 낮은 곳에서 곡선이 잠깐 평평해지는 순간
미적분 1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: y = x³ − 3x (비교용: y = x³)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①x = −2, −1, 0, 1, 2 를 넣어 y = x³ − 3x 의 y값을 차례로 구해 [칸 A]에 적어 보세요.
- ②[칸 A]에서 양옆보다 y가 더 높은 x와 더 낮은 x를 하나씩 찾아 [칸 B]에 적어 보세요.
- ③두 점 (−1.5, 1.125), (−0.5, 1.375)로 (세로 변화)÷(가로 변화)를 구해 [칸 C]에 적으세요.
- ④더 가까운 두 점 (−1.1, 1.969), (−0.9, 1.971)로 같은 계산을 해 [칸 C] 옆에 적으세요.
- ⑤③과 ④의 두 수가 어떤 값에 가까워지나요? 그 값을 [칸 D]에 크게 적어 보세요.
- ⑥y = x³ 로 바꿔 두 점 (−0.1, −0.001), (0.1, 0.001)로 같은 계산을 해 [칸 E]에 적으세요.
- ⑦y = x³ 에서 x=0 은 양옆보다 높은 곳인가요, 낮은 곳인가요? [칸 E] 옆에 적어 보세요.
칸 A — x=−2,−1,0,1,2 에서 y=x³−3x 의 값
칸 C — 가파른 정도 (x=−1 근처, ③④)
칸 E — y=x³, x=0 근처 계산과 높낮이 판단
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 D]에서, 봉우리와 골짜기 자리에서 '가파른 정도'는 어떤 값에 가까워졌나요? 왜 그렇게 되는지 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)
✎ 봉우리 꼭대기에서는 곡선이 잠깐 ___해지기 때문에 가파른 정도가 …
(2)봉우리·골짜기에서 가파른 정도가 그 값이 되는 것은 y = x³ − 3x 만의 우연일까요, 어떤 곡선에서도 생기는 규칙일까요? 다른 곡선을 하나 직접 골라 확인한 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 곡선 y = ___ 로 해 보니 …
(3)[칸 E]에서 y = x³ 의 x=0 자리도 가파른 정도가 같은 값이었지만, 그곳은 봉우리도 골짜기도 아니었습니다. 이 사실은 '가파른 정도가 그 값이면 반드시 봉우리나 골짜기'라는 생각에 대해 무엇을 말해 주나요? (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 스스로 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 값을 정확히 구하고, 두 점 사이 가파른 정도의 계산과 높낮이 판단을 빠짐없이 수행함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 관찰한 값에 근거를 들어 자기 말로 설명하고, 다른 곡선을 직접 골라 우연/규칙을 검증함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 연결함 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
가장 높은 곳과 가장 낮은 곳에서 곡선이 잠깐 평평해지는 순간 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.함수 f(x) = x³ − 3x² 의 극값을 구하시오. (극댓값·극솟값과 그때의 x를 모두 쓸 것)
2.함수 f(x) = x³ − 3x + 1 에서 f'(x) = 0 인 x를 모두 구하고, 각 점에서 극댓·극솟을 판정하시오.
3.함수 f(x) = x³ 은 f'(0) = 0 이지만 x=0 에서 극값을 갖지 않는다. 그 까닭을 설명하시오.
4.함수 f(x) = x³ + 3x 는 극값을 갖는지 판정하고, 그 이유를 쓰시오.
5.함수 f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 5 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
정답
1. x=0에서 극댓값 0, x=2에서 극솟값 −4
2. x=−1에서 극댓값 3, x=1에서 극솟값 −1
3. f'(0)=0이지만 x=0의 좌우 모두에서 f가 계속 커지므로(부호가 안 바뀜) 극값이 아니다
4. f'(x)=3x²+3>0 이라 f'(x)=0 인 x가 없으므로 극값을 갖지 않는다
5. x=−1에서 극댓값 12, x=2에서 극솟값 −15