x를 한 점에 다가가게 할 때 값이 그 점의 값과 만나는가
미적분 1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 두 가지 규칙 (비교용: x=1에서 답을 5로 바꾼 규칙)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①첫 규칙 '나온 x에 1을 더한다'에 x=0.9, 0.99, 1.01, 1.1을 넣은 값을 [칸 A]에 각각 적으세요.
- ②[칸 A]의 값들이 어떤 하나의 수에 점점 가까워지는지 보고, 그 수를 [칸 C]에 적으세요.
- ③첫 규칙에 x=1을 정확히 넣은 값을 [칸 D]에 적고, [칸 C]와 같으면 ◯, 다르면 ✕를 옆에 표시하세요.
- ④두 규칙 'x가 1이 아니면 1을 더하고, x가 정확히 1이면 답은 5'에 x=0.9, 0.99, 1.01, 1.1을 넣어 [칸 B]에 적으세요.
- ⑤[칸 B]의 값들이 가까워지는 수를 [칸 E]에, x=1을 정확히 넣은 값을 [칸 F]에 적고 두 칸이 같으면 ◯ 다르면 ✕ 표시하세요.
- ⑥두 규칙의 점들을 종이 위에 상상해, x=1 부근에서 펜을 떼지 않고 이을 수 있는 규칙에 ◯ 하세요 (첫 규칙 / 두 규칙).
칸 A — 첫 규칙: x=0.9, 0.99, 1.01, 1.1을 넣은 값
칸 B — 두 규칙: x=0.9, 0.99, 1.01, 1.1을 넣은 값
칸 D — 첫 규칙에 x=1을 정확히 넣은 값
칸 F — 두 규칙에 x=1을 정확히 넣은 값
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)첫 규칙에서 [칸 C]와 [칸 D]가 같게 나왔습니다. 이것은 이 규칙만의 우연일까요, 아니면 다른 규칙에서도 생기는 일일까요? 여러분이 규칙 하나(예: x에 x를 곱한다)를 직접 골라 같은 방식으로 확인한 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 규칙은 ___이고, x를 1에 다가가게 하니 …
(2)두 규칙에서는 [칸 E]와 [칸 F]가 서로 달랐습니다. 무엇 때문에 이런 차이가 생겼을지, 두 규칙과 첫 규칙이 x=1에서 무엇이 다른지 여러분의 말로 설명하세요. (15점)
✎ 두 규칙은 x가 1에 다가갈 때는 ___로 가는데, 정확히 x=1일 때는 ___라서 …
(3)마지막 단계에서 펜을 떼지 않고 이을 수 있었던 규칙과 그렇지 못한 규칙의 차이는, 앞의 [칸 C]·[칸 D] 그리고 [칸 E]·[칸 F] 비교 결과와 어떻게 연결되나요? (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 두 규칙에 x값을 빠짐없이 넣어 값을 채우고, 가까워지는 수와 정확한 값을 비교·표시함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 자기 가설에 이유를 붙였고, 다른 규칙을 직접 골라 확인한 근거가 있으며 두 규칙의 차이를 설명함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 순서 재설계에 이유가 있고, 세 문장 각각에 알맞은 이름을 짝지음 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
x를 한 점에 다가가게 할 때 값이 그 점의 값과 만나는가 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.함수 f(x) = x² − 2x 에 대하여 x → 2 일 때의 극한값과 f(2)를 각각 구하고, f(x)가 x = 2 에서 연속인지 판정하시오.
2.함수 f(x) = (x²−1)/(x−1) (x ≠ 1), f(1) = k 가 x = 1 에서 연속이 되도록 하는 상수 k의 값을 구하시오.
3.함수 f(x) = (x+2)/(x−3) 가 연속이 아닌 x의 값을 구하시오.
4.함수 g(x) = |x|/x (x ≠ 0), g(0) = 1 이 x = 0 에서 연속인지 좌우에서 다가간 값을 비교하여 판정하시오.
5.함수 f(x) = √(4 − x²) 가 정의되는 x의 범위를 구하고, 이 함수가 연속인 닫힌 구간을 쓰시오.
정답
1. lim = 0, f(2) = 0 이고 두 값이 같으므로 x=2에서 연속
2. lim x→1 (x²−1)/(x−1) = lim(x+1) = 2 이므로 k = 2
3. 분모가 0이 되는 x = 3 에서 정의되지 않아 불연속
4. 왼쪽에서 −1, 오른쪽에서 +1 로 다가가 극한이 없으므로 x=0에서 불연속
5. 4 − x² ≥ 0 이므로 −2 ≤ x ≤ 2, 곧 닫힌 구간 [−2, 2] 에서 연속