합은 한 곳에 모여도 부분은 제각각일 수 있다

미적분 1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
학년
이름
점수

안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다.  예제: 1 근처의 두 짝 f, g (비교용: h(x)=2x, k(x)=x²)

1

활동 — 순서대로 해 보기

30점
  1. 규칙 f: x≥1이면 1, x<1이면 -1. x=1.1, 1.01, 0.99, 0.9의 f값을 [칸 A]에 순서대로 적으세요.
  2. 규칙 g: x≥1이면 -1, x<1이면 1. 같은 네 x값의 g값을 [칸 B]에 순서대로 적으세요.
  3. 각 x마다 f값과 g값을 더한 f+g를 같은 순서로 [칸 C]에 적으세요.
  4. x를 1에 가깝게 할 때 [칸 C]의 값들이 한 수에 모이나요? 그 수를 [칸 C] 아래 ◯로 크게 쓰세요.
  5. [칸 A]에서 오른쪽(1.1→1.01)과 왼쪽(0.9→0.99)이 각각 향하는 수를 [칸 D]에 나란히 적으세요.
  6. 다른 짝 h=2x, k=x²로 네 x값의 h, k값을 구해, 각각 한 수에 모이는지 [칸 E]에 쓰세요.
칸 A — 네 x에서의 f값 (오른쪽 2·왼쪽 2)
칸 B — 네 x에서의 g값
칸 C — 네 x에서의 f+g값과 ◯
칸 D — f가 오른쪽·왼쪽에서 향하는 수
칸 E — h, k가 각각 향하는 수
2

해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기

40점

(1)[칸 C]의 f+g는 한 수에 모였는데 [칸 A]의 f는 오른쪽·왼쪽에서 다른 수로 갔습니다. 합이 한 곳에 모였다고 해서 f와 g도 각각 한 곳에 모인다고 말할 수 있나요? 왜 그런가요? (15점)

✎ 합은 한 수 ___에 모였지만, f는 오른쪽에서 ___, 왼쪽에서 ___로 가므로 …

(2)⑥의 h=2x, k=x² 짝에서는 각 부분이 한 수에 모였나요? 앞의 f, g 짝과 무엇이 달라서 이런 차이가 생겼다고 생각하나요? (15점)

✎ h와 k는 (모였다 / 모이지 않았다). f, g와 다른 점은 ___ 때문이라고 생각한다.

(3)합은 한 수에 모이지만 각 부분은 그렇지 않은 f, g 짝을 하나 더 직접 만들어 보고, 정말 그렇게 되는지 확인한 결과를 쓰세요. (10점)

3

성찰 — 활동을 내 것으로 만들기

30점

(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 빼도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)

(2) 이름 붙이기 — 오늘 '값이 한 수에 모인다', '오른쪽·왼쪽에서 다른 수로 간다', '한없이 커진다' 같은 말을 썼습니다. 각 표현에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)

평가 기준
활동 수행 (30점)규칙대로 각 x에서 f·g·합 값을 정확히 구하고, 오른쪽·왼쪽을 구분해 정리함상 · 중 · 하
해석 (40점)합이 모여도 부분은 다를 수 있음을 근거를 들어 설명하고, 다른 짝과 비교해 차이를 밝힘상 · 중 · 하
성찰 (30점)활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 연결함상 · 중 · 하
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연습 문제

합은 한 곳에 모여도 부분은 제각각일 수 있다 · 각 20점 · 총 100점
학년
이름
점수

안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.

1.f(x)=1 (x≥0), f(x)=-1 (x<0) 이고 g(x)=-f(x) 일 때, lim<sub>x→0</sub>{f(x)+g(x)} 의 값을 구하고, lim<sub>x→0</sub>f(x) 가 존재하는지 판단하시오.
2.명제 “lim<sub>x→∞</sub>f(x) 와 lim<sub>x→∞</sub>f(x)g(x) 가 각각 수렴하면 lim<sub>x→∞</sub>g(x) 도 수렴한다”가 거짓임을, f(x)=1/x², g(x)=x 로 세 극한값을 구해 확인하시오.
3.f(x)=1/x², g(x)=1/x⁴ 에 대하여 lim<sub>x→0</sub>f(x)=∞, lim<sub>x→0</sub>g(x)=∞ 이다. 이때 lim<sub>x→0</sub> f(x)/g(x) 의 값을 구하시오.
4.명제 “lim<sub>x→a</sub>f(x) 와 lim<sub>x→a</sub>g(x) 가 각각 수렴하면 lim<sub>x→a</sub>{f(x)+g(x)} 도 수렴한다”의 참·거짓을 판별하시오.
5.lim<sub>x→1</sub>f(x)=3 이고 lim<sub>x→1</sub>{f(x)+g(x)}=5 일 때, lim<sub>x→1</sub>g(x) 의 값을 구하시오.
정답
1. lim{f+g}=0 (모든 x에서 f+g=0). lim f(x)는 존재하지 않음 (우극한 1, 좌극한 -1) 2. lim f=0, lim f·g=lim(1/x)=0 (둘 다 수렴), 그러나 lim g=∞ (발산). 반례 성립 → 명제는 거짓 3. f/g = x⁴/x² = x² 이므로 lim = 0 (‘∞/∞=1’은 거짓) 4. 참 — 두 극한이 모두 수렴하면 합의 극한은 각 극한값의 합으로 수렴한다 5. g=(f+g)-f 이고 두 극한이 모두 수렴하므로 lim g = 5-3 = 2
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