위아래에 갇힌 수는 어디로 갈까
미적분 2 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 아래줄 5 − 1/n · 위줄 5 + 2/n · 가운데줄 5 + (−1)ⁿ/n (비교용: 아래줄 3 · 위줄 5 (모든 n에서 고정))
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①[칸 A] 표에 아래줄 규칙 5 − 1/n 에 n = 1, 2, 10, 100, 1000 을 넣은 값을 적어 보세요.
- ②[칸 A] 표에 위줄 규칙 5 + 2/n 에 같은 n 을 넣은 값을 적어 보세요.
- ③[칸 A] 표에 가운데줄 규칙 5 + (−1)ⁿ/n 에 같은 n 을 넣은 값을 적어 보세요.
- ④세 줄의 수가 n 이 커질수록 각각 어떤 수에 가까워지는지 [칸 B]에 적어 보세요.
- ⑤각 n 에서 아래줄과 위줄 중 어느 쪽이 큰지 <, =, > 중 하나로 [칸 C]에 적어 보세요.
- ⑥각 n 에서 가운데줄 값이 아래줄과 위줄 사이에 있는지 확인하고 O·X 를 [칸 A] 옆에 적어 보세요.
- ⑦이번엔 아래줄을 3, 위줄을 5(모든 n 에서 고정)로 바꾸면 가운데줄이 어디로 갈지 알 수 있는지 [칸 D]에 적어 보세요.
칸 A — n = 1, 2, 10, 100, 1000 을 넣어 만든 아래줄·가운데줄·위줄 값 표
칸 C — 각 n 에서 아래줄과 위줄 비교 (<, =, >)
칸 D — 아래 3·위 5 로 바꿨을 때 가운데줄
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 B]에서 세 줄의 수는 n 을 아주 크게 하면 각각 어떤 수에 가까워졌나요? 그리고 가운데줄이 그 수에 가까워질 수밖에 없었던 까닭을 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)
✎ 아래줄은 ___에, 위줄은 ___에, 가운데줄은 ___에 가까워졌다. 가운데줄이 그럴 수밖에 없는 까닭은 …
(2)[칸 C]를 보면 아래줄은 어느 n 에서도 위줄보다 작거나 같았는데, 두 줄이 가까워진 곳은 같았습니다. '한쪽이 늘 더 작으면 가까워지는 곳도 반드시 더 작다'가 맞을까요? 다른 두 규칙을 직접 골라 넣어 본 결과와 함께 (우연 / 규칙) 판단을 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 두 규칙 ___ 와 ___ 로 해 보니 …
(3)⑦에서 아래줄 3, 위줄 5 로 바꾸자 가운데줄이 어디로 갈지 정할 수 없었습니다. 처음 활동과 무엇이 달라서 그런 차이가 생겼는지 여러분의 생각을 쓰세요. (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 빼도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 세 줄의 값을 각 n 에서 정확히 계산하고, 비교·사이 여부·규칙 교체를 지시대로 수행함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 가운데줄이 가까워진 까닭을 갇힘으로 설명했고, 다른 규칙을 직접 골라 우연/규칙을 확인한 근거가 있음 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 순서 재설계에 이유가 있고, 세 문장 각각에 알맞은 이름을 짝지음 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
위아래에 갇힌 수는 어디로 갈까 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.두 수열 aₙ = 4 − 3/n, bₙ = 4 + 5/n 의 극한을 각각 구하고, 모든 n 에서 aₙ < bₙ 이 성립함을 보인 뒤 lim aₙ ≤ lim bₙ 임을 확인하시오.
2.모든 n 에서 3 − 1/n ≤ cₙ ≤ 3 + 2/n 일 때, lim (n→∞) cₙ 을 구하시오.
3.lim (n→∞) cos n / n² 을 구하시오. (−1 ≤ cos n ≤ 1 을 이용)
4.다음 명제의 참·거짓을 판별하고, 거짓이면 반례를 드시오: “모든 n 에서 aₙ < bₙ 이면 lim aₙ < lim bₙ 이다.”
5.모든 n 에서 |aₙ − 2| ≤ 3/n 일 때, lim (n→∞) aₙ 을 구하시오.
6.수열 aₙ = (2n + sin n)/n 의 극한을 구하시오.
정답
1. lim aₙ = 4, lim bₙ = 4. −3/n < 5/n 이므로 모든 n 에서 aₙ < bₙ. 극한은 4 ≤ 4 로 성립(강한 부등호 <가 극한에서 등호 =로 약화됨).
2. 3. (양쪽 3 − 1/n → 3, 3 + 2/n → 3 이므로 조임(샌드위치) 정리로 cₙ → 3)
3. 0. −1/n² ≤ cos n / n² ≤ 1/n², 양쪽 모두 0 으로 수렴하므로 0.
4. 거짓. 반례: aₙ = 0, bₙ = 1/n 이면 모든 n 에서 aₙ < bₙ 이지만 lim aₙ = lim bₙ = 0.
5. 2. 2 − 3/n ≤ aₙ ≤ 2 + 3/n, 양쪽 모두 2 로 수렴하므로 aₙ → 2.
6. 2. aₙ = 2 + sin n / n 이고 −1/n ≤ sin n / n ≤ 1/n → 0 이므로 극한은 2.