값들이 결국 어디로 가는지 따라가 보기
미적분 2 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 규칙 ㉮ 3n, ㉯ -2n, ㉰ 홀수 -n·짝수 +n (비교용: 규칙 ㉱ 1 + 1/n (한 수로 모이는 경우))
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①[칸 A]에 규칙 ㉮ '3×n'으로 n=1,2,3,10,100일 때 값 5개를 순서대로 적어 보세요.
- ②[칸 B]에 규칙 ㉯ '-2×n'으로 같은 n=1,2,3,10,100의 값 5개를 적어 보세요.
- ③[칸 C]에 규칙 ㉰ 'n이 홀수면 -n, 짝수면 +n'으로 n=1,2,3,10,100의 값을 적어 보세요.
- ④[칸 A]·[칸 B]·[칸 C] 각각에서 n이 커질 때 값이 향하는 쪽을 ↗위 ↘아래 ⇅양쪽 중 하나로 표시하세요.
- ⑤[칸 D]에 규칙 ㉱ '1 + 1/n'으로 n=1,2,3,10,100의 값을 소수로 적어 보세요.
- ⑥[칸 D]의 값들이 어떤 한 수에 바짝 다가가는지 살펴, 그 수를 [칸 D] 옆에 ◯로 적으세요.
- ⑦[칸 E]에 ㉮㉯㉰㉱ 각각을 '정해진 한 수로 다가간다 / 그렇지 않다'로 나누어 적어 보세요.
칸 A — ㉮ 3×n 의 값 (n=1,2,3,10,100)
칸 B — ㉯ -2×n 의 값 (n=1,2,3,10,100)
칸 E — 네 규칙의 '한 수로 다가감' 여부
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)㉮·㉯·㉰처럼 값이 정해진 한 수로 다가가지 '않는' 규칙을 여러분이 직접 새로 하나 만들어, n=1,2,3,10,100을 넣어 확인하고 정말 한 수로 모이지 않는지 결과와 함께 쓰세요. (15점)
✎ 내가 만든 규칙은 ___이다. n=1,2,3,10,100을 넣으니 값이 ___ … 그래서 한 수로 모이지 ___.
(2)[칸 E]에서 ㉱만 다른 답이 나왔습니다. ㉱는 ㉮·㉯·㉰와 무엇 때문에 결과가 갈렸는지 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)
✎ ㉱의 값들은 커질수록 ___에 붙는데, ㉮㉯㉰의 값들은 ___ 때문에 …
(3)㉮와 ㉯는 둘 다 값이 한없이 벌어졌지만 ④의 화살표 방향이 서로 달랐고, ㉰는 또 그 둘과도 달랐습니다. 세 규칙의 '벌어지는 방식'이 어떻게 서로 다른지 쓰세요. (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 네 규칙의 값을 정확히 계산하고, 향하는 쪽 표시와 한 수 다가감 판정을 지시대로 수행함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 직접 만든 규칙으로 확인한 근거가 있고, ㉱가 갈린 이유와 세 규칙의 벌어지는 방식 차이를 설명함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 순서 재설계에 이유가 있고, 세 문장 각각에 알맞은 이름을 짝지음 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
값들이 결국 어디로 가는지 따라가 보기 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.수열 aₙ = 4n 의 처음 5개 항을 구하고, n이 한없이 커질 때 lim aₙ 을 말하시오.
2.lim (3n² - n) 의 값을 구하고, 발산의 유형을 쓰시오.
3.수열 aₙ = (-1)ⁿ(2n+1) 의 처음 4개 항을 구하고, 수렴·발산을 판정하시오.
4.다음 중 발산하는 수열을 모두 고르시오. (가) aₙ = 1/n (나) aₙ = 2 - 1/n (다) aₙ = n/2
5.수열 aₙ = (-1)ⁿ/n 은 부호가 계속 바뀐다. 이 수열은 발산하는가? 판정하고 이유를 쓰시오.
6.일차식 수열 aₙ = an + b 가 음의 무한대로 발산하도록 하는 a 의 조건을 구하시오.
정답
1. 4, 8, 12, 16, 20 · lim aₙ = ∞ (양의 무한대로 발산)
2. ∞ · 양의 무한대로 발산 (최고차항 3n²이 지배)
3. -3, 5, -7, 9 · 부호가 바뀌며 절댓값이 커져 진동(발산)
4. (다) · (가)→0 수렴, (나)→2 수렴, (다)→∞ 발산
5. 발산하지 않음 · |aₙ|=1/n→0 이므로 0에 수렴
6. a < 0 (a<0이면 n→∞일 때 an+b→-∞)