곱을 펼치면 남는 세 수
공통수학 1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 1, 2, 4 (비교용: 1, 2, 3)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①세 수 1, 2, 4로 만든 식 (x−1)(x−2)(x−4)를 차례로 곱해 펼치고, [칸 A]에 정리해 적어 보세요.
- ②[칸 A]의 식에서 x³·x²·x·숫자, 네 자리 앞에 붙은 수를 순서대로 [칸 B]에 적어 보세요.
- ③세 씨앗 수 1, 2, 4를 모두 더한 값을 [칸 C]에 적어 보세요.
- ④세 씨앗 수를 둘씩 짝지어 곱한 세 값(1×2, 2×4, 4×1)을 모두 더해 [칸 D]에 적어 보세요.
- ⑤세 씨앗 수 1, 2, 4를 모두 곱한 값을 [칸 E]에 적어 보세요.
- ⑥[칸 C]·[칸 D]·[칸 E]의 값을 [칸 B]의 네 수와 견주어, 같거나 부호만 다른 것끼리 선으로 이어 보세요.
- ⑦이번엔 씨앗 수 1, 2, 3으로 ①~⑥을 다시 해 보고, 이어진 모습이 같은지 [칸 F]에 적어 보세요.
칸 A — 세 수로 만든 식을 곱해 펼쳐 정리한 결과
칸 B — 펼친 식에서 각 자리 앞에 붙은 네 수
칸 F — 1, 2, 3으로 다시 했을 때 이어진 모습
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 C]·[칸 D]·[칸 E]의 값은 [칸 B]의 네 수와 어떻게 맞물렸나요? 어떤 것은 그대로, 어떤 것은 부호만 뒤집혀 있었을 텐데, 그 규칙을 여러분의 말로 설명해 보세요. (15점)
✎ [칸 C]의 값은 [칸 B]의 ___번째 수와 부호만 다르고, [칸 D]의 값은 …
(2)이 맞물림은 1, 2, 4라서 생긴 우연일까요, 어떤 세 수를 골라도 생기는 규칙일까요? 여러분이 직접 세 수를 골라 ①~⑥을 해 본 결과와 함께 이유를 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 세 수 ___, ___, ___로 해 보니 …
(3)[칸 F]에서 1, 2, 3으로 했을 때 이어진 모습은 1, 2, 4일 때와 같았나요, 달랐나요? 무엇 때문에 그런 결과가 나왔다고 생각하나요? (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 세 수로 만든 식을 정확히 곱해 펼치고, 세 가지 값 계산과 견주기·잇기를 빠짐없이 수행함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 맞물린 규칙의 까닭을 들어 자기 말로 설명하고, 우연/규칙을 스스로 골라 검증함 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 활동 순서를 스스로 재구성하고, 자신의 경험에 알맞은 이름(용어)을 짝지어 붙임 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
곱을 펼치면 남는 세 수 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.
1.삼차방정식 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0의 세 근을 α, β, γ라 할 때, α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγ를 각각 구하시오.
2.삼차방정식 2x³ + 4x² − 6x + 8 = 0의 세 근을 α, β, γ라 할 때, α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγ를 각각 구하시오.
3.삼차방정식 x³ − 5x² + 6x − 1 = 0의 세 근을 α, β, γ라 할 때, α²+β²+γ²의 값을 구하시오.
4.삼차방정식 x³ − 8x² + 19x − 12 = 0의 한 근이 1일 때, 나머지 두 근의 곱을 구하시오.
5.세 수 2, 3, 5를 근으로 가지는 삼차방정식을 x³ + px² + qx + r = 0 꼴로 나타내시오.
정답
1. α+β+γ = 6, αβ+βγ+γα = 11, αβγ = 6
2. α+β+γ = −2, αβ+βγ+γα = −3, αβγ = −4
3. 13 ( (α+β+γ)² − 2(αβ+βγ+γα) = 5² − 2·6 )
4. 12 (세 근의 곱 αβγ = 12, 한 근이 1이므로 나머지 두 근의 곱 = 12)
5. x³ − 10x² + 31x − 30 = 0 (p=−10, q=31, r=−30)