두 길이와 그 사이 각만으로 넓이 구하기

중등 3-2 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
학년
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점수

안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다.  예제: 도형 ①(두 변 6, 8) · 도형 ②(두 선분 8, 10) (비교용: 그대로인 도형과 절반이 되는 도형)

1

활동 — 순서대로 해 보기

30점
  1. ①도형 ①은 이웃한 두 변이 6, 8이고 두 변 사이의 각이 30°입니다. 마주보는 두 꼭짓점을 이어 삼각형 2개로 [칸 A]에 나누세요.
  2. ②삼각형은 두 변 a, b와 사이 각 C로 넓이가 (1/2)ab sin C 입니다. 각 삼각형 넓이를 (1/2)·6·8·sin30° 로 [칸 A]에 적으세요.
  3. ③두 삼각형 넓이를 더해 [칸 B]에 적고, 6 × 8 × sin30° 값과 비교해 같은지 확인하세요.
  4. ④도형 ②는 마주보는 꼭짓점을 이은 두 선분이 점 O에서 만나고, OA=3, OC=5, OB=4, OD=6, 사이 각은 30°입니다.
  5. ⑤네 삼각형 AOB, BOC, COD, DOA 넓이를 각각 (1/2)·(두 변)·sin30° 로 구해 [칸 C]에 적고, 모두 더해 [칸 D]에 적으세요.
  6. ⑥두 선분의 전체 길이 8과 10과 사이 각 30°만으로 8 × 10 × sin30° 을 구한 뒤 그 절반을 [칸 E]에 적어 [칸 D]와 비교하세요.
칸 A — 도형 ①을 삼각형 2개로 나누고 각 넓이 적기
칸 B — 도형 ①: 두 넓이의 합 · 6×8×sin30°와 비교
칸 C — 도형 ②의 네 삼각형 넓이
칸 D — 도형 ②: 네 넓이의 합
칸 E — 8×10×sin30°의 절반
2

해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기

40점

(1)도형 ①에서 [칸 B]의 두 삼각형 합이 6 × 8 × sin30° 와 같았나요? 높이를 재지 않았는데도 두 변의 길이와 사이 각만으로 넓이가 나온 까닭을 여러분의 말로 설명하세요. (12점)

✎ 두 삼각형을 합치면 ___이 되고, 각 삼각형이 (1/2)·6·8·sin30° 이므로 …

(2)도형 ②에서 [칸 E]처럼 두 선분 길이의 곱에 sin을 곱한 값의 '절반'이 실제 합 [칸 D]와 같았습니다. 이것은 이 숫자들이라서 생긴 우연일까요, 어떤 도형에서도 생기는 규칙일까요? 다른 길이를 직접 골라 확인한 결과와 함께 이유를 쓰세요. (16점)

✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 OA=___, OC=___, OB=___, OD=___ 로 해 보니 …

(3)도형 ①은 곱한 값이 그대로 넓이였는데, 도형 ②는 곱한 값의 '절반'이 넓이였습니다. 무엇 때문에 한쪽에만 '절반'이 붙었을지 두 도형의 차이로 설명하세요. (12점)

3

성찰 — 활동을 내 것으로 만들기

30점

(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)

(2) 이름 붙이기 — 오늘 다룬 두 도형과, 도형 ②에서 이은 두 선분, 두 변이 벌어진 각을 무엇이라 부르는지 교과서 용어를 짝지어 적고, 각각의 넓이 공식을 문자 a, b, x 로 세워 보세요. (15점)

평가 기준
활동 수행 (30점)각 삼각형 넓이를 정확히 계산하고, 합과 곱 값을 빠짐없이 비교·표시함상 · 중 · 하
해석 (40점)자기 가설에 이유를 붙였고, 다른 길이를 직접 골라 확인한 근거가 있음상 · 중 · 하
성찰 (30점)순서 재설계에 이유가 있고, 두 도형과 각 요소에 알맞은 이름·공식을 짝지음상 · 중 · 하
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연습 문제

두 길이와 그 사이 각만으로 넓이 구하기 · 총 100점
학년
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안내 — 1쪽에서 스스로 세운 개념을 이번에는 반복해서 적용해 봅니다. 풀이 과정을 빈 곳에 쓰고, 다 푼 뒤 맨 아래 정답으로 스스로 채점하세요.

1.이웃하는 두 변의 길이가 5, 7이고 그 끼인각의 크기가 30°인 평행사변형의 넓이를 구하시오.
2.이웃하는 두 변의 길이가 4, 6이고 그 끼인각의 크기가 120°인 평행사변형의 넓이를 구하시오.
3.두 대각선의 길이가 8, 12이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 30°인 사각형의 넓이를 구하시오.
4.두 대각선의 길이가 10, 6이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 150°인 사각형의 넓이를 구하시오.
5.한 변의 길이가 6이고 한 내각의 크기가 60°인 마름모의 넓이를 구하시오.
6.이웃하는 두 변의 길이가 4, 9인 평행사변형의 넓이가 18일 때, 두 변의 끼인각 x(예각)의 크기를 구하시오.
정답
1. 5×7×sin30° = 35×(1/2) = 35/2 = 17.5 2. 4×6×sin(180°−120°) = 24×sin60° = 24×(√3/2) = 12√3 3. (1/2)×8×12×sin30° = 48×(1/2) = 24 4. (1/2)×10×6×sin(180°−150°) = 30×sin30° = 30×(1/2) = 15 5. 이웃한 두 변 6, 6, 끼인각 60° → 6×6×sin60° = 36×(√3/2) = 18√3 6. 4×9×sin x = 18 → 36 sin x = 18 → sin x = 1/2 → x = 30°
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