접히는 세로선과 두 점으로 굽은 선의 뼈대 완성하기
중등 3-1 · 서술형 평가지 · 권장 시간 25분 · 총 100점
안내 — 이 평가지에는 개념 용어가 일부러 빠져 있습니다. 지시를 따라 손으로 직접 해 본 뒤, 그 결과를 여러분의 말로 해석하고 성찰하여 서술하세요. 정답 문장이 정해져 있지 않으니, 이유를 붙인 자기 생각이면 됩니다. 예제: 접히는 자리 2 · 두 점 (0,5),(5,15) (비교용: 접히는 자리가 0인 경우)
1
활동 — 순서대로 해 보기
30점
- ①굽은 선이 접히는 세로 자리는 가로 눈금 2입니다. 뼈대 y = □(x - 2)² + △ 를 옆에 그대로 옮겨 적으세요.
- ②첫 번째 점은 가로 0, 세로 5입니다. 이 두 값을 뼈대의 x 자리와 y 자리에 넣어 [칸 A]에 적으세요.
- ③두 번째 점은 가로 5, 세로 15입니다. 같은 방법으로 뼈대에 넣어 [칸 B]에 적으세요.
- ④[칸 A]와 [칸 B]는 △가 같습니다. 아래 줄에서 위 줄을 빼 □만 남기고, □ 값을 구해 [칸 C]에 적으세요.
- ⑤[칸 C]의 □ 값을 [칸 A]에 다시 넣어 △ 값을 구하고 [칸 D]에 적으세요.
- ⑥접히는 자리가 가로 눈금 0이면 뼈대가 어떻게 짧아지는지 [칸 E]에 적으세요.
칸 E — 접히는 자리가 0일 때의 짧아진 뼈대
2
해석 — 왜 그런지 내 생각 쓰기
40점
(1)[칸 C]와 [칸 D]를 뼈대에 넣어 완성한 줄이 첫 번째 점과 두 번째 점을 정말 지나는지 각각 확인하고, 어떻게 확인했는지 쓰세요. 두 점만 알면 □와 △가 늘 하나씩 정해질까요, 이 두 점이라서 생긴 우연일까요? 다른 두 점을 직접 골라 확인한 결과와 함께 쓰세요. (15점)
✎ 나는 (우연 / 규칙) 쪽에 걸겠다. 내가 고른 두 점 ___와 ___로 해 보니 …
(2)접히는 자리가 0일 때 [칸 E]의 뼈대는 왜 더 짧아졌나요? 무엇이 사라졌고, 그것이 사라져도 괜찮은 이유는 무엇일지 쓰세요. (15점)
✎ 접히는 자리가 0이면 (x - ___)² 의 ___ 부분이 …
(3)왜 두 점을 뼈대에 넣으면 □와 △를 함께 구할 수 있었나요? 만약 점이 하나뿐이었다면 무엇이 부족했을지 쓰세요. (10점)
3
성찰 — 활동을 내 것으로 만들기
30점
(1) 순서 다시 짜기 — 이 활동을 처음 하는 친구에게 나라면 어떤 순서로 시킬지 쓰고, 왜 그 순서인지 한 문장으로 이유를 붙이세요. 지워도 되는 단계가 있다면 그것도 쓰세요. (15점)
(2) 이름 붙이기 — 오늘 한 일을 세 문장으로 정리한 뒤, 각 문장이 가리키는 것에 교과서에서 배운(또는 배울) 수학 용어를 스스로 짝지어 붙여 보세요. (15점)
평가 기준
| 활동 수행 (30점) | 접히는 자리 값을 넣어 뼈대를 세우고, 두 점을 각각 넣어 두 줄을 정확히 만들었으며, 두 줄을 빼 □와 △를 빠짐없이 구함 | 상 · 중 · 하 |
| 해석 (40점) | 완성한 줄이 두 점을 지남을 직접 확인하고, 규칙/우연 가설에 다른 사례로 근거를 붙임 | 상 · 중 · 하 |
| 성찰 (30점) | 순서 재설계에 이유가 있고, 세 문장 각각에 알맞은 용어를 짝지음 | 상 · 중 · 하 |
연습 문제
접히는 세로선과 두 점으로 굽은 선의 뼈대 완성하기 · 각 20점 · 총 100점
안내 — 축의 방정식(그래프가 접히는 세로선) x = p 와 그래프 위의 두 점을 알 때, 이차함수의 식을 y = a(x - p)² + q 로 놓고 두 점을 대입하여 a, q 를 구한다.
1.축의 방정식이 x = 1 이고 두 점 (0, 3), (3, 6) 을 지나는 이차함수의 식을 y = a(x - 1)² + q 꼴로 구하시오.
2.축의 방정식이 x = -2 이고 두 점 (0, 1), (1, 6) 을 지나는 이차함수의 식을 구하시오.
3.축의 방정식이 x = 0 이고 두 점 (0, -2), (2, 6) 을 지나는 이차함수의 식을 구하시오. (축이 0이면 y = ax² + q 로 놓는다.)
4.어떤 이차함수의 축의 방정식이 x = 3 이고 두 점 (1, 5), (5, 5) 를 지난다. 이 두 점만으로 a 와 q 를 각각 정할 수 있는지 이유와 함께 답하시오.
5.이차함수 y = a(x - 2)² + q 가 두 점 (0, 7), (3, 1) 을 지날 때, 이 함수의 최솟값을 구하시오.
정답
1. a=1, q=2 → y = (x - 1)² + 2
2. a=1, q=-3 → y = (x + 2)² - 3
3. a=2, q=-2 → y = 2x² - 2
4. 정할 수 없다. 두 점이 축 x=3 에 대칭이라 대입하면 두 식이 4a+q=5 로 똑같아져 a 를 결정할 수 없다.
5. 4a+q=7, a+q=1 → a=2, q=-1 (a>0이므로 최솟값 = q = -1)