대표유형 이차방정식의 근의 분리 (2) 이차방정식 $a x^{2}-(a+1) x-3=0$ 의 한 근은 -1 과 0 사이에 있고, 다른 한 근은 1 과 2 사이에 있을 때, 실수 $a$ 의 값의 범위를 구하여라. 유형Guide $f(x)=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 에 대하여 이차방정식 $f(x)=0$ 의 두 근 사이에 $p$ 가 있을 조건은 $f(p)<0$ 이다. '두 근 사이에 $p$ 가 있다.' 는 것은 '한 근은 $p$ 보다 작고 다른 한 근은 $p$ 보다 크다.'는 것과 같은 뜻이다. 이와 같이 두 근이 서로 다른 범위에 있는 경우에는 $f(x)=0$ 의 판별식의 부호나 $y=f(x)$ 의 그래프의 축의 위치를 고려하지 않아도 된다. KEYPOINT 근이 서로 다른 범위에 있는 경우 $\Rightarrow$ 경곗값의 부호에 주목하라! 풀이 $f(x)=a x^{2}-(a+1) x-3$ 이라 하면 이차방정식 $f(x)=0$ 의 한 근은 -1 과 0 사이에 있고, 다른 한 근은 1 과 2 사이에 있다. (i) $a>0$ 일 때, $y=f(x)$ 의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 하므로 \[ \begin{array}{l} f(-1)=a+a+1-3>0 \quad \therefore a>1 \\ f(0)=-3<0 \\ f(1)=a-(a+1)-3=-4<0 \\ f(2)=4 a-2(a+1)-3>0 \quad \therefore a>\frac{5}{2} \end{array} \] 따라서 $a$ 의 값의 범위는 $a>\frac{5}{2}$ (ii) $a<0$ 일 때, $f(0)=-3$ 이므로 조건을 만족시키는 $y=f(x)$ 의 그래프를 그릴 수 없다. (i), (ii)에서 $a>\frac{5}{2}$ 답 $a>\frac{5}{2}$ REMARK 주어진 방정식이 이차방정식이므로 $a \neq 0$ 이다. 따라서 $a>0$ 일 때와 $a<0$ 일 때로 나누어 생각하면 된다.