사각형의 넓이 일반적으로 다각형의 넓이는 삼각형으로 나누어 그 넓이의 합으로 구할 수 있다. 삼각형의 넓이를 이용하여 평행사변형과 사각형의 넓이를 구하여 보자. 1 펑행사변형의 넓이 오른쪽 그림과 같이 이웃하는 두 변의 길이가 $a, b$ 이고 그 끼인 각의 크기가 $\theta$ 인 평행사변형 $A B C D$ 에서 대각선 $A C$ 를 그으면 삼각형 $A B C$ 와 삼각형 $C D A$ 는 서로 합동이다. 따라서 평행사변형 $A B C D$ 의 넓이 $S$ 는 삼각형 $A B C$ 의 넓이의 2 배이므로 \[ S=2 \triangle A B C=2\left(\frac{1}{2} a b \sin \theta\right)=a b \sin \theta \] 와 같이 구할 수 있다. 2 사각형의 넓이 오른쪽 그림과 같이 두 대각선의 길이가 $a, b$ 이고, 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 사각형의 넓이는 다음의 두 가지 방법으로 구할 수 있다. 방법 1 삼각형의 넓이를 이용 오른쪽 그림과 같이 사각형 $A B C D$ 의 두 대각선의 교점 $O$ 에서 각 꼭짓점에 이르는 선분의 길이를 각각 $p, q, r, s$ 라 하면 사각형 $A B C D$ 의 넓이 $S$ 는 \[ \begin{aligned} S & =\triangle O A B+\triangle O B C+\triangle O C D+\triangle O D A \\ & =\frac{1}{2} p q \sin \theta+\frac{1}{2} q r \sin \left(180^{\circ}-\theta\right)+\frac{1}{2} r s \sin \theta \\ & +\frac{1}{2} s p \sin \left(180^{\circ}-\theta\right) \\ & =\frac{1}{2} p q \sin \theta+\frac{1}{2} q r \sin \theta+\frac{1}{2} r s \sin \theta+\frac{1}{2} s p \sin \theta \\ & =\frac{1}{2}(p q+q r+r s+s p) \sin \theta \\ & =\frac{1}{2}(q+s)(p+r) \sin \theta \\ & =\frac{1}{2} a b \sin \theta(\because q+s=a, p+r=b) \end{aligned} \] 와 같이 구할 수 있다. 방법2 평행사변형의 넓이를 이용 오른쪽 그림과 같이 사각형 $A B C D$ 의 대각선 $A C$ 에 평행하고 두 꼭짓점 $B, D$ 를 각각 지나는 직선과 대각선 $B D$ 에 평행하고 두 꼭짓점 $A, C$ 를 각각 지나는 직선의 교점을 이용하여 평행사변형 $P Q R S$ 를 만들면